Il regolatore universalmente noto come PI è senz'altro il più applicato dei regolatori elettronici di tipo analogico. Ha una struttura semplicissima, costituita essenzialmente da un amplificatore operazionale retroazionato, che riesce ad assicurare ottime prestazioni almeno per sistemi regolati semplici, ad una sola costante di tempo (la maggioranza delle applicazioni pratiche).
Purtuttavia, la sua applicazione è spesso fatta a "tentativi", e le prestazioni ottenute frutto dell'abilità ed esperienza dell'installatore. Per molteplici ragioni, quasi mai vengono infatti seguiti criteri di "progetto" del regolatore, spesso accontentandosi di un funzionamento "passabile".
E' vero che spesso manca il dato fondamentale sulle caratteristiche di risposta del sistema da regolare (anche se questo potrebbe essere oggi facilmente ricavato da misure computerizzate), ma credo che la ragione principale stia nella mancanza di conoscenza dei criteri da seguire per ottimizzare le prestazioni. Questi criteri non sono trattati né nelle scuole tecniche (perchè ritenuti troppo complicati da spiegare), e nemmeno nelle università (per ragioni opposte, in quanto ritenute troppo "banali", privilegiando un approccio più matematico che fisico ai problemi).
Di fatto (e mi piacerebbe essere smentito) pochi sanno, si diceva, come ottimizzare le prestazioni di un regolatore. Questo articolo ha lo scopo di aiutare in tal senso, quindi costituisce una specie di "manuale d'uso" di MicroCap nella simulazione dell'anello di regolazione, permettendo di capire le relazioni più significative.
Qualsiasi sistema che si debba controllare (nel senso di dare un valore di riferimento e far sì che l'uscita del sistema lo segua più fedelmente possibile), mostra un comportamento non esprimibile algebricamente, ma solo mediante equazioni in cui compaiono derivate o integrali.
L'esempio più semplice di tale comportamento è la costante di tempo, che può essere assimilata a quello ben noto di un circuito a resistenza e capacità (RC)
Volendo vederlo fisicamente, supponiamo di applicare all'ingresso (term.1) un generatore di alternata (V) , a tensione fissa ma a frequenza variabile da 1 a 1000Hz: quale sarà l'ampiezza del segnale d'uscita per ciascuna frequenza?
La risposta è contenuta nel diagramma di Bode raffigurato a lato del circuito. Cerchiamo di interpretarlo: in ascissa viene riportata la frequenza in scala logaritmica, mentre in ordinata è dato il rapporto tra l'ampiezza della sinusoide di uscita, rispetto a quella di ingresso. Questo rapporto è però espresso in dB (decibel = 20*log(Vu/Vi)), dunque quando il rapporto è 1 (nessuna modificazione dell'uscita rispetto all'ingresso), si hanno 0 dB .
Dal grafico (ottenuto direttamente da MicroCap con Analysis/AC e Run, dopo aver stabilito cosa rappresentare e in che scale), si può vedere che l'andamento è costantemente a 0 fino ad un valore di frequenza ft (chiamata frequenza di taglio, e determinata dai valori di R e di C), dopodichè si ha in andamento di attenuazione pressoché lineare, con una pendenza uguale a -20dB per ogni decade di frequenza).
Assumeremo quindi questo comportamento come tipico di ogni sistema ad una sola costante, variando solo, di caso in caso, il valore di ft.
La figura seguente mostra l'intera configurazione in MicroCap, di un anello di regolazione comprendente la costante di tempo (R1,C1) e l'amplificatore operazionale X1 (ad es. un comune 741), con attorno una rete di resistenze che ne determinano il funzionamento. Completa lo schema un generatore di segnale (ad onda quadra, V1) ed uno Switch che permette di aprire o chiudere l'anello di retroazione.
L'azione integratrice è svolta dal condensatore C2 che, con la resistenza di ingresso R3, determina la frequenza di taglio dell'integratore (se non ci fosse R2, la caratteristica di questo nel diagramma di Bode sarebbe semplicemente una retta con pendenza -20dB/decade passante per l'ascissa a wi=1/(R3*C2) o, se la scala è in frequenza, fi=1/(2p*R3*C2).
La resistenza R2 stabilisce il guadagno proporzionale (dato da R2/R3). In questo caso, essendo R2=R3, il guadagno è 1, quindi oltre la frequenza di taglio, la caratteristica diventa una retta coincidente con l'ascissa.
Il risultato è, come appare in figura (traccia verde), una curva "complementare" all'andamento della costante di tempo (traccia blu). Per la proprietà del diagramma di Bode (logaritmico), la caratteristica risultante dall'insieme dell'integratore e della costante di tempo è semplicemente la somma dei 2 diagrammi, cioè la traccia rossa: più questa si avvicina ad una retta, migliori sono le prestazioni del regolatore (nel caso in esame questo si avrebbe con fi=ft, cioè facendo coincidere la frequenza di taglio dell'integratore con quella del sistema controllato).
MicroCap ci consente però di osservare i risultati della regolazione semplicemente chiudendo lo Switch e richiamando la modalità Analysis/Transient/Run. Ecco i risultati ottenuti variando soltanto il valore di C2:
Ovviamente la traccia blu è la tensione di V1 (riferimento), mentre quella rossa è il valore di uscita.
Come si vede, un'integrazione dominante rallenta la "risposta" del sistema, una troppo scarsa velocizza ma introduce oscillazioni.
Per chi volesse rendersi conto di persona del legame fra grafici di Bode e conseguenti prestazioni del regolatore, questo programma di simulazione è disponibile qui (occorre sia istallato MicroCap9). Si sottolinea che per i diagrammi di Bode occorre aprire lo Switch (doppio click sul simbolo) ed utilizzare la modalità Analysis/AC, mentre per la risposta nel tempo occorre chiudere lo Switch (sempre con doppio click sul simbolo) ed utilizzare la modalità Analysis/Transient.
Per chi volesse approfondire i legami fra parametri del regolatore ed andamento nel diagramma di Bode, si consiglia il programma di simulazione in VisualBasic (vedi: integratore+proporzionale).
Si è visto che diminuendo l'influenza dell'integrazione si ottiene una risposta più veloce ma con oscillazioni indesiderate: è però possibile ottenere un anello di regolazione che riduca la costante di tempo del sistema, senza introdurre oscillazioni. Nel gergo della regolazione questo è noto come forzamento, e si ottiene dando un guadagno alla parte proporzionale.
In pratica si tratta di maggiorare R2 rispetto ad R3 e di far salire quindi la retta di proporzionalità dall'asse delle ascisse ad un valore opportuno. In questo caso il punto di discontinuità fra la retta dell'integrazione (a -20dB/dec) e la retta orizzontale del guadagno proporzionale non è più fi, ma fpi (vedi figura)
Facendo coincidere fpi con la frequenza di taglio del sistema regolato, si ottiene la rettificazione della risposta (ad anello aperto) di tutto il complesso.
Gli effetti (visibili in figura) sono l'allargamento della banda passante, il che significa in anello chiuso una risposta più pronta nel tempo (si confronti l'andamento nel tempo con quelli della figura precedente).
C'è però da segnalare che ciò comporta limitazione nell'ampiezza del campo di regolazione: se infatti si avesse un limite di saturazione dell'amplificatore ad es. a 10V, la variazione dell'ingresso non potrebbe superare i 4V. Infatti con un rapporto di amplificazione di R2/R3=2.5, un segnale maggiore (come quello in figura) porterebbe il sistema in saturazione (almeno momentanea), con la conseguenza di vanificare il forzamento stesso.
E' questa una situazione quasi mai valutata nell'approccio puramente "matematico" del progetto (e causa di frequenti insuccessi pratici di chi lo affronta in tal modo). Con la simulazione è invece naturale constatare che è illusorio pensare di fissare qualsiasi obiettivo di riduzione della costante di risposta (ove non si riduca, come detto, anche il campo dei segnali in gioco).