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Una passeggiata tra le matrici

Con questo articolo proponiamo, senza alcuna presunzione, di fare una breve passeggiata tra le matrici.
Supponiamo che le matrici, di cui parleremo, facciano parte di un campo numerico K arbitrario i cui elementi sono detti scalari.

Indice

Definizioni

Una matrice A, appartenente ad un campo K è un elenco rettangolare di scalari (anche se più spesso si parla di array) nella seguente forma:


A=\ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}


Verrrano dette righe della matrice A in questione le m n-ple orizzontali di scalari:

(a_{11},\ a_{12},\ \cdots,\ a_{1n}),\ (a_{21},\ a_{22},\ \cdots,\ a_{2n}),\ \cdots,\ (a_{m1},\ a_{m2},\ \cdots,\ a_{mn})

Sono invece dette colonne della matrice A le n m-ple verticali di scalari:

\begin{bmatrix}
a_{11}\\ 
a_{21}\\ 
\vdots\\ 
a_{m1}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_{12}\\ 
a_{22}\\ 
\vdots\\ 
a_{m2}
\end{bmatrix},
\ ...\ ,
\begin{bmatrix}
a_{1n}\\ 
a_{2n}\\ 
\vdots\\ 
a_{mn}
\end{bmatrix}

Una matrice può essere "scritta"anche in forma più compatta come:

A=\ [a_{ij}]

dove aij è detto elemento ij o componente ij, presente nella riga i-esima e nella colonna j-esima.
Ancora:

  • una matrice dotata di m righe ed n colonne è detta anche matrice m x n; m ed n costituitranno quella che è detta dimensione di una matrice;
  • una matrice che ha una sola riga è detta vettore riga ed, equivalentemente, è detta vettore colonna se ha una sola colonna;
  • date due matrici A e B, esse si diranno uguali se hanno stessa forma e stessi elementi corrispondenti, si scriverà perciò A = B;
  • una matrice a scalari tutti nulli è detta matrice nulla.

Esempio

La matrice:

A=\ \begin{bmatrix}
7 & 6\\ 
4 & 2\\ 
1 & 3
\end{bmatrix}

è una matrice di 3 righe e 2 colonne, cioè una matrice 3 x 2, dove:

(7,\ 6) , (4,\ 2) e (1,\ 3)

sono le righe della matrice e

(7,\ 4,\ 1) e (6,\ 2,\ 3)

sono le colonne.


Operazioni matriciali

Addizione tra matrici

Date due matrici A e B, con la stessa dimensione m x n, si dirà somma di A e B o A + B, la matrice che avrà per elementi la somma degli elementi corrispondenti delle due matrici. In poche parole, siano:


A=\ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} B=\ \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ 
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 
b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn}
\end{bmatrix}

la somma A + B sarà uguale a:

A + B=\ \begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ 
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+a_{mn}
\end{bmatrix}

Esempio

Date due matrici A e B, della stessa dimensione, ad esempio 2 x 3, la loro somma A + B è:

A + B=\ \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\ 
5 & 2 & 1
\end{bmatrix} +
\ \begin{bmatrix}
2 & 3 & 1\\ 
1 & 7 & 6
\end{bmatrix}=
\ \begin{bmatrix}
1+2 & 3+3 & 4+1\\ 
5+1 & 2+7 & 1+6
\end{bmatrix}=
\ \begin{bmatrix}
3 & 6 & 5\\ 
6 & 9 & 7
\end{bmatrix}

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Data una matrice A, il prodotto di tale matrice per uno scalare k, detto kA è la matrice che avrà per elementi i prodotti degli elementi di A per lo scalare K. In altre parole, detta, come sempre, la matrice A e uno scalare K:

A=\ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ 
... & ... & ... & ...\\ 
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}
\end{bmatrix}

si ha:

kA=\ \begin{bmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\\ 
ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 
ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn}
\end{bmatrix}


Esempio

Se A è sempre:

A=\ \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\ 
5 & 2 & 1
\end{bmatrix}

e k è 3, kA risulta:

kA=\ \begin{bmatrix}
3\cdot1 & 3\cdot3 & 3\cdot4\\ 
3\cdot5 & 3\cdot2 & 3\cdot1
\end{bmatrix}=
\ \begin{bmatrix}
3 & 9 & 12\\ 
15 & 6 & 3
\end{bmatrix}


Inoltre:

  • A + B e kA sono ancora delle matrici di ordine m x n;
  • data una matrice A, la matrice -A=(-1)\cdot A è detta opposta di A;
  • date due matrici A e B, A-B=\ A+ (-B) è detta differenza di A e B.

Moltiplicazione tra matrici

Il prodotto tra due matrici A e B, non è di immediata comprensione.
Partiamo quindi da un caso iniziale un pò più semplice, per poi spostarci al caso "generale".

Consideriamo un vettore riga A=[ai] e un vettore colonna B=[bi] che hanno lo stesso numero di elementi, cioè le matrici più semplici. Il prodotto AB non è altro che lo scalare pari alla somma dei prodotti tra gli elementi corrispondenti, cioè:

AB=\ \begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ 
b_{2}\\ 
\vdots\\ 
b_{n}
\end{bmatrix}=
\ a_{1}b_{1}+a_{2}a_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}

AB è uno scalare o, se vogliamo, una matrice 1 x 1. AB non è definito quando le matrici hanno numero di elementi differente.


Esempio


\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4\\ 
9\\ 
-2\\ 
3
\end{bmatrix}=
\ 1\cdot4+4\cdot9+7\cdot(-2)+1\cdot3= 4+36-14+3=29


Passiamo quindi al caso "generale".
Date due matrici A=[aij] e B=[Bij], tali che il numero di righe di A è uguale a quello di righe di B, dove A è una matrice m x p e B una matrice p x n, il prodotto AB è una matrice m x n in cui l'elemento ij-esimo è il risultato della moltiplicazione tra la riga i-esima di A e la colonna j-esima di B. Cioè:


\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1p}\\ 
\cdot & \cdots & \cdot\\ 
{\color{Blue} a_{i1}} & {\color{Blue} \cdots} & {\color{Blue} a_{ip}}\\ 
\cdot & \cdots & \cdot\\ 
a_{m1} & \cdots & a_{mp}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & \cdots & {\color{Blue} a_{1j}} & \cdots & b_{1n}\\ 
\cdot & \cdots & {\color{Blue} \cdots} & \cdots & \cdot\\ 
\cdot & \cdots & {\color{Blue} \cdots} & \cdots & \cdot\\ 
\cdot & \cdots & {\color{Blue} \cdots} & \cdots & \cdot\\ 
b_{p1} & \cdots & {\color{Blue} b_{pj}} & \cdots & b_{pn}
\end{bmatrix}

dove c_{ij}=\ a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}


Il prodottto tra due matrici non è definito se hanno numero di righe tra loro differenti.

Esempio

Calcoliamo AB, con A=\ \begin{bmatrix}
1 & 3\\ 
2 & -1
\end{bmatrix},\ 
B=\ \begin{bmatrix}
2 & 0 & -4\\ 
5 & -2 & 6
\end{bmatrix}.


La matrice prodotto AB sarà 2 x 3. Calcoliamo la prima riga di AB. Moltiplichiamo la prima riga di A per ognuna delle colonne di B:

\begin{bmatrix}
2\\ 
5
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0\\ 
-2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-4\\ 
6
\end{bmatrix}


cioè:


AB=\ \begin{bmatrix}
2+15 & 0-6 & -4+18\\ 
 &  & 
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
17 & -6 & 14\\ 
 &  & 
\end{bmatrix}

Per avere la seconda riga, in maniera analoga, moltiplichiamo la seconda riga di A per ogni colonna di B. Avremo:

AB=\ \begin{bmatrix}
17 & -6 & 14\\ 
4-5 & 0+2 & -8-6
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
17 & -6 & 14\\ 
-1 & 2 & -14
\end{bmatrix}


Importante: la moltiplicazione tra matrici non è commutativa. Cioè AB e BA non sono necessariamente uguali.

Ancora qualche "definizione"

Matrice trasposta

Data una matrice A, si dice AT la sua trasposta e si ottiene scrivendo le righe di A, nell'ordine, come colonne.
Un esempio, come sempre, aiuta a capire meglio:

A=\ \begin{bmatrix}
6 & 9\\ 
7 & 3\\ 
8 & 1
\end{bmatrix},
\ A^{T}=\ \begin{bmatrix}
6 & 7 & 8\\ 
9 & 3 & 1
\end{bmatrix}
.


Si può intuire, da quanto detto, che la trasposta di un vettore riga è un vettore colonna e viceversa.

Matrice quadrata

Una matrice A si dice quadrata quando ha lo stesso numero di righe e colonne. Possimao dire che una matrice di dimensione n x n ha ordine n o che è n-quadrata.
Per una matrice quadrata di ordine n, tutte le operazioni sono definite. Un esempio di matrice quadrata è il seguente:

A=\ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}

DIAGONALE E TRACCIA

La diagonale o diagonale principale di una matrice quadrata è costituita dagli elementi con indici uguali.
La traccia di A, indicata con tr(A), è la somma degli elementi della diagonale.
Facciamo un esempio, riprendendo la nostra matrice:


A=\ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}


La diagonale sarà \begin{Bmatrix}
1, & 5, & 9
\end{Bmatrix}.
La traccia di A sarà: 1\ +\ 5\ +\ 9=\ 15

MATRICE IDENTITA' E MATRICE SCALARE

Una matrice quadrata di ordine n si diceidentità, indicata con In o I, se ha 1 sulla diagonale e 0 altrove. Per la matrice identità vale la proprietà, data una matrice A:

AI=\ IA=\ A

Per ogni scalare k, la matrice kI che ha k sulla diagonale e 0 altrove è detta matrice scalare.
Un piccolo esempio:


I=\ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},\ 
3I= \ \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\\ 
0 & 3 & 0\\ 
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}

MATRICE DIAGONALE E MATRICE TRIANGOLARE

Una matrice quadrata si dice diagonale se i suoi elementi che non appartengono alla diagonale sono nulli. Ad esempio, la matrice A:


A=\ \begin{bmatrix}
4 & 0\\ 
0 & 6
\end{bmatrix}

è quadrata diagonale.

Una matrice quadrata si dice triangolare alta se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della sua diagonale principale, triangolare bassa se accade il contrario, cioè se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della sua diagonale principale. Ad esempio, le seguenti matrici sono rispettivamente triangolare alta e bassa:

A=\ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 
0 & a_{22} & a_{23}\\ 
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix},
B=\ \begin{bmatrix}
b_{11} & 0 & 0\\ 
b_{21} & b_{22} & 0\\ 
b_{31} & b_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}

MATRICE INVERTIBILE

Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste una matrice B, tale che:

AB=\ BA=\ I

dove I è la già nota matrice identica.
La matrice B è unica ed è detta inversa e si indica, in questo caso, con A-1. Inoltre se B è inversa di A, è vero anche il contrario.

Esempio 1

Proviamo a calcolare l'inversa di una matrice di dimensione 2 x 2.
Prendiamo in considerazione la generica matrice A=\ \begin{bmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{bmatrix}


Vogliamo trovare una formula che permetta di calcolarne l'inversa, cioè per calcolare A-1. Dobbiamo ottenere quindi 4 scalari, chiamiamoli x1, x2, y1 e y2, tali che si abbia:

\begin{bmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2}\\ 
y_{1} & y_{2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}

Svolgendo il prodotto tra le due matrici ed uguagliando gli elementi corrispondenti si perviene a 4 equazioni:

ax_{1}+by_{1}=1,\ ax_{2}+by_{2}=0,\ cx_{1}+dy_{1}=0,\ cx_{2}+dy_{2}=1

Poniamo la differenza ad\ -\ bc uguale ad \left |A  \right |. Essa verrà detto, come specificheremo in seguito, determinante di A. Ponendolo diverso da 0, troviamo in maniera unica le incognite che cercavamo, cioè i 4 scalari. Risulta quindi:

x_{1}=\ \frac{d}{\left | A \right |},\ y_{1}=\ \frac{-c}{\left | A \right |},\ x_{2}=\ \frac{-b}{\left | A \right |},\ y_{2}=\ \frac{a}{\left | A \right |}

In definitiva

A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{d}{\begin{vmatrix}

A\end{vmatrix}} & \frac{-b}{\begin{vmatrix}

A\end{vmatrix}}\\ 
\frac{-c}{\begin{vmatrix}

A\end{vmatrix}} & \frac{a}{\begin{vmatrix}

A\end{vmatrix}}
\end{bmatrix}=
\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix}
d & -b\\ 
-c & a
\end{bmatrix}

Pare ovvio che, nel caso in cui \left | A \right |=\ 0, la matrice non è invertibile.


Esempio 2

Data la matrice A, trovare l'inversa A-1.


A=\ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\ 
0 & 1 & 2\\ 
1 & 2 & 4
\end{bmatrix}
.


L'inversa A-1 è del tipo:


A=\ \begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\ 
y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ 
z_{1} & z_{2} & z_{3}
\end{bmatrix}


Moltiplicando A per A-1 e uguagliando i nove elementi ai nove elementi della matrice identità si ottengono tre sistemi di equazioni lineari in tre delle incognite e sono:
\left\{\begin{matrix}
x_{1} & + & y_{1} & + & z_{1} & = & 1\\ 
 &  & y_{1} & + & 2z_{1} & = & 0\\ 
x_{1} & + & 2y_{1} & + & 4z_{1} & = & 0
\end{matrix}\right.,
\ \ \left\{\begin{matrix}
x_{2} & + & y_{2} & + & z_{2} & = & 0\\ 
 &  & y_{2} & + & 2z_{2} & = & 1\\ 
x_{2} & + & 2y_{2} & + & 4z_{2} & = & 0
\end{matrix}\right.


e


\ \ \left\{\begin{matrix}
x_{3} & + & y_{3} & + & z_{3} & = & 0\\ 
 &  & y_{3} & + & 2z_{3} & = & 0\\ 
x_{3} & + & 2y_{3} & + & 4z_{3} & = & 1
\end{matrix}\right.


Si risolve il sistema rispetto alleincognite nuove e si ricavano:
x_{1}=0,\ y_{1}=2,\ z_{1}=-1;\ \ x_{2}=-2,\ y_{2}=3,\ z_{2}=-1;\ \ x_{3}=1,\ y_{3}=-2,\ z_{3}=1

e quindi la matrice inversa:


A^{-1}=\ \begin{bmatrix}
0 & -2 & 1\\ 
2 & 3 & -2\\ 
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}

Il determinante

Ad ogni matrice quadrata A di ordine n si associa un determinato scalare, detto determinante di A, indicato con det(A) o |A| o come:


\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{121} & \cdots & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}


Una matrice di n x n scalari racchiusi tra due righe verticali è detta determinante di ordine n e non si tratta di una matrice bensì è il determinante della matrice stessa.

Determinante di ordine uno e due

Si definiscono rispettivamente come:

\begin{vmatrix}
a_{11}
\end{vmatrix}=\ a_{11},
\ \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\ 
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=\ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Per il calcolo del determinante di ordine due, si può tenere preseten tale schema:

cioè fare la differenza tra il prodotto degli elementi collegati dalla freccia blu (partendo da a11) e quelli collegati dalla freccia rossa (partendo da a12).

Esempio

Ad esempio, per il determinante di ordine uno:


\begin{vmatrix}
11
\end{vmatrix}=\ 11,
\ \begin{vmatrix}
-4
\end{vmatrix}=\ -4

Per il determinante di ordine due:

\begin{vmatrix}
2 & 1\\ 
3 & 4
\end{vmatrix}=\ (2\cdot4)-(1\cdot3)=\ 5

Determinante di ordine tre

Consideriamo la matrice 3 x 3 generica. Si ha:


det(A)=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}


Scritto così, però, può sembrare un'impresa titanica imparare a calcolarlo. Effettuiamo un "piccolo accorgimento". Riscriviamo il determinante in questo modo:

det(A)=\ a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

dove le espressioni tra parentesi non sono altro che i determinanti seguenti:

\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\ 
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\ 
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\ 
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}

E' in pratica una combinazione lineare di determinanti di matrici 2 x 2. I coefficienti sono a11, -a12, a13. Tali matrici si ottengono cancellando di volta in volta dalla matrice 3 x 3 iniziale la riga e la colonna in cui risiedono i coefficienti della combinazione lineare stessa.

Esempio

Calcoliamo il seguente determinante:



La regola di Sarrus

Se abbiamo a che fare con determinanti del terzo ordine, un altro metodo da poter utilizzare per il suo calcolo è la regola di Sarrus. Vediamo di capire di cosa si tratta. Sia data la matrice A:


A=\ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}


e il suo determinante:


det(A)=\ \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}


Si prende la matrice e si affiancano ad essa le prime due colonne:


\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\ 
a_{21} & a_{22}\\ 
a_{31} & a_{32}
\end{matrix}


Individuiamo "due gruppi" di diagonali.
Il primo è individuato dalle seguenti diagonali, così come sono evidenziate in figura:


\begin{bmatrix}
{\color{Red} a_{11}} & {\color{Green} a_{12}} & {\color{Purple} a_{13}}\\ 
a_{21} & {\color{Red} a_{22}} & {\color{Green} a_{23}}\\ 
a_{31} & a_{32} & {\color{Red} a_{33}}
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\ 
{\color{Purple} a_{21}} & a_{22}\\ 
{\color{Green} a_{31}} & {\color{Purple} a_{32}}
\end{matrix}


Per ogni diagonale compaiono 3 elementi e ne facciamo il prodotto tra di loro e sommiamo algebricamente i 3 prodotti che otteniamo dalle 3 diagonali:


a_{11}a_{22}a_{33}\ +\ a_{12}a_{23}a_{31}\ +\ a_{13}a_{21}a_{32}


Il secondo è individuato dalle seguenti diagonali, così come sono evidenziate in figura:


\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & {\color{Red} a_{13}}\\ 
a_{21} & {\color{Red} a_{22}} & {\color{Green} a_{23}}\\ 
{\color{Red} a_{31}} & {\color{Green} a_{32}} & {\color{Purple} a_{33}}
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
{\color{Green} a_{11}} & {\color{Purple} a_{12}}\\ 
{\color{Purple} a_{21}} & a_{22}\\ 
a_{31} & a_{32}
\end{matrix}


Allo stesso modo di prima, per ogni diagonale facciamo il prodotto dei 3 elementi che contiene. Cambiamo di segno (mettiamo un meno) ogni prodotto e sommiamo algebricamente i risultati ottenuti, in questo modo:


-\ a_{13}a_{22}a_{31}\ -\ a_{11}a_{23}a_{32}\ -\ a_{12}a_{21}a_{33}


La regola di Sarrus dice che il determinante di A è uguale a:


a_{11}a_{22}a_{33}\ +\ a_{12}a_{23}a_{31}\ +\ a_{13}a_{21}a_{32}-\ a_{13}a_{22}a_{31}\ -\ a_{11}a_{23}a_{32}\ -\ a_{12}a_{21}a_{33}

Applicazioni ai sistemi di equazioni lineari

Consideriamo il seguente sistema generico di equazioni lineari :


\left\{\begin{matrix}
a_{1}x & + & b_{1}y & = & c_{1}\\ 
a_{2}x & + & b_{2}y & = & c_{2}
\end{matrix}\right.


Chiamiamo D=\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} il determinante della matrice dei coefficienti. Il sistema avrà una soluzione se e solo se D\neq 0. In questo caso l'unica soluzione potrà essere scritta in termini di determinanti. Vediamo come:


x=\ \frac{N_{x}}{D}=\frac{b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}=\frac{\begin{vmatrix}
c_{1} & b_{1}\\ 
c_{2} & b_{1}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\ 
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix}},
y=\ \frac{N_{y}}{D}=\frac{a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}=\frac{\begin{vmatrix}
a_{1} & c_{1}\\ 
a_{2} & c_{2}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\ 
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix}}


D compare al denominatore, come si può vedere. Nx e Ny si ottengono sostituendo, nella matrice dei coefficienti, la colonna dei termini costanti a quella dei coefficienti dell'incognita data (x o y per intenderci).
Qualora D=\ 0, il sistema può avere infinite soluzioni o non averne affatto.


Esempio

Proviamo a risolvere con i determinanti il seguente sistema lineare:


\left\{\begin{matrix}
4x & - & 3y & = & 15\\ 
2x & + & 5y & = & 1 
\end{matrix}\right.


Il determinante D della matrice dei coefficienti risulta:


D=\ \begin{vmatrix}
4 & -3\\ 
2 & 5
\end{vmatrix}=\ (4\cdot5)-(-3\cdot2)=20+6=26


Ora: il determinante D è diverso da zero, quindi siamo sicuri che il sistema ha un'unica soluzione. Ci resta da calcolare ora Nx ed Ny. Li scriviamo seguendo le regole dette prima:


N_{x}=\ \begin{vmatrix}
15 & -3\\ 
1 & 5
\end{vmatrix}=75+3=78,
\ \ \ N_{y}=\ \begin{vmatrix}
4 & 15\\ 
2 & 1
\end{vmatrix}=4-30=-26


Da ciò ricaviamo:


x=\ \frac{78}{26}=\ 3,\ \ y=\ \frac{-26}{26}=\ 1

Alcune proprietà dei determinanti

Elenchiamo di seguito alcune delle poprietà dei determinanti.


1. Il determinante di una matrice A è uguale a quello della sua trasposta.


2. Sia A una matrice quadrata:

  • se presenta una riga o colonna di zeri, il determinante è zero;
  • se presenta due righe o colonne identiche, il determinante è zero;
  • se presenta due righe o colonne linearmente dipendenti tra loro (in altre parole se sono tra loro proporzionali), il determinante è zero;
  • se è triangolare, allora il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale;
  • il determinante di una matrice identica è 1.


3. Data una matrice A , se ne può ottenere una B, effettuando delle elementari operazioni di riga (colonna). Quindi:

  • se si scambiano due righe o colonne di A , il determinante di B è l'oppposto di quello di A;
  • se si moltiplica una riga o colonna per uno scalare K, allora il determinante di B è uguale al determinante di A moltiplicato per lo scalare k;
  • se il multiplo di una riga o colonna è sommato a un'altra riga o colonna, il determinante di B è uguale a quello di A.


4. Il determinante del prodotto tra due matrici A e B è il prodotto dei loro determinanti.

Bibliografia

"Algebra lineare" - Lipschutz, Lipson.

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Commenti e note

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ok ok ;-)

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Io 21 :-) :-). Quindi diamoci del tu tranquillamente. :D

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ok grazie mille. comunque ho 22 anni!

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di ,

Parli della matrice trasposta coniugata? Vedrò di inserirlo in queste ore/giorni. Sperando di riuscire ad inserirlo ti avviserò come sempre. P.s. : non darmi del Lei, anche perchè credo di avere la tua età o forse anche di meno e poi non sono nessuno per cui tu debba darmi del Lei. :). Il tu va più che bene. :D

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di ,

Ancora una richiesta: nel suo articolo potrebbe aggiungere anche il calcolo dell'aggiunta della matrice.

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di ,

Concludo il mio commento precedente sottolineando che come vedi inserire un algoritmo del genree comporta lo specificare tutta una serie di concetti, numerosi peraltro. Onde per cui ho deciso, anche in seguito ad alcuni consigli, fornitimi più in giù da jordan20, di scrivere un articolo sui sistemi di equazoni lineari in cui chiarirò tutti i vari concetti necessari a comprendere l'algoritmo di prima. Ovviamente inserirò anche degli esempi con quel "nuovo" metodo che ho citato prima sul calcolo dell'inversa di una matrice.

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di ,

Ciao luka889. Ho inserito un breve esempio sul calcolo di una matrice inversa 3 x 3 come mi avevi chiesto. Si chiama Esempio2 e lo trovi nella sezione delle matrici invertibili. Non è forse un esempio esplicativo al 100 per cento. Infatti esiste un modo ben piu veloce di quello che ho descritto nell'esempio che ho inserito. Lo descrivo brevemente a mò di algoritmo: 1. Prendi la matrice A di dimensione n x n di cui vuoi calcolare l'inversa. 2. Forma la matrice n x 2n (a blocchi) M =[A,I] così formata : A nella metà di sinistra e I in quella di destra. 3. Riduci M in forma a scala. Se durante il processo si genera nella metà con A una riga zero, FERMATI perchè A non è invertibile. Altrimenti tale matrice prende la forma di matrice triangolare. 4. Riduci ancora M nella forma canonica per righe ottenendo M = [I,B]. 5.Poni A^(-1) = B che è la matrice che ti sei trovato dopo tutte le varie riduzioni/trasformazioni nella destra di M.

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di ,

Grazie per la celerità. L'inversa di una matrice, oltre al metodo da te indicato, può essere anche calcolata come l'aggiunta di A diviso il determinante di A, vero? grazie

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Grazie per la disponibilità!

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Ok, allora dammi il tempo di 10 - 15 minuti per inserire l'esempio.

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si grazie. intendo un esempio numerico con matrice non banale (per capirci in modo che non ci siano troppi zeri). grazie mille!

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di ,

Ciao luka889. Grazie per l'apprezzamento. :) Per quanto riguarda l'esempio che chiedi, posso farti l'esempio di calcolo di una matrice inversa 3 x 3, ma senza usare Matlab, in quanto non lo conosco e non so usarlo. Se intendi un esempio numerico, allora lo inserirò al più presto. Intendi ciò?

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di ,

Compliment asdf.Un articolo molto interessante e sicuramente un ripasso molto utile per tutti gli studenti (me compreso). Molto spesso abbiamo, infatti, a che fare con le matrici e capita di non ricordare alcune proprietà che semplificherebbero la vita in molti frangenti. Grazie ancora!!! P.S.:potresti fare qualche esempio di calcolo dell'inversa per matrici 3X3 non banale visto che tanti prof, nonostante l'esistenza di Matlab, si ostinano alla magistrale a farle calcolarle a mano?

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di ,

Figurati Ivan_Iamoni, sono io che ringrazio te per il tuo apprezzamento :).

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di ,

Ti ringrazio asdf, scarseggiano gli articoli di questo genere. Confesso che ho avuto un incotro ravvicinato con le matrici, nell'analisi cinematica per lo sviluppo di programma per manipolatore, e per chi come me non ha un adeguata preparazione universitaria, si rivelano un vero e proprio "pugno nello stomaco". Mi rileggerò più volte e con calma il tuo articolo per famigliarizzare. :)

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di ,

Grazie jordan20. Sono sempre contento che l'articolo ti sia piaciuto. Al più presto cercherò di modificare l'articolo inserendo anche gli argomenti che mi hai consigliato. Grazie ancora :) .

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di ,

Bel articolo, lineare ed esaustivo come fai di solito :) Se posso permettermi di consigliarti, sarebbe utile inserire qualche definizione sul rango, sui minori complementari e qualche metodo di riduzione (tipo quello di Gauss per citarne uno), visto che accenni alle applicazioni sui sistemi lineari :)

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di ,

Fatto uboss :). Ho modificato. Grazie della correzione e dell'apprezzamento. :)

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di ,

Bell'articolo. Inserirei questo nelle proprietà dei determinanti. se una matrice quadrata presenta due righe o due colonne linearmente DIPENDENTI allora il det=0.

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