Con questo articolo proponiamo, senza alcuna presunzione, di fare una breve passeggiata tra le matrici.
Supponiamo che le matrici, di cui parleremo, facciano parte di un campo numerico K arbitrario i cui elementi sono detti scalari.
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Definizioni
Una matrice A, appartenente ad un campo K è un elenco rettangolare di scalari (anche se più spesso si parla di array) nella seguente forma:
Verrrano dette righe della matrice A in questione le m n-ple orizzontali di scalari:
Sono invece dette colonne della matrice A le n m-ple verticali di scalari:
Una matrice può essere "scritta"anche in forma più compatta come:
dove aij è detto elemento ij o componente ij, presente nella riga i-esima e nella colonna j-esima.
Ancora:
- una matrice dotata di m righe ed n colonne è detta anche matrice m x n; m ed n costituitranno quella che è detta dimensione di una matrice;
- una matrice che ha una sola riga è detta vettore riga ed, equivalentemente, è detta vettore colonna se ha una sola colonna;
- date due matrici A e B, esse si diranno uguali se hanno stessa forma e stessi elementi corrispondenti, si scriverà perciò A = B;
- una matrice a scalari tutti nulli è detta matrice nulla.
Esempio
La matrice:
è una matrice di 3 righe e 2 colonne, cioè una matrice 3 x 2, dove:
sono le righe della matrice e
sono le colonne.
Operazioni matriciali
Addizione tra matrici
Date due matrici A e B, con la stessa dimensione m x n, si dirà somma di A e B o A + B, la matrice che avrà per elementi la somma degli elementi corrispondenti delle due matrici. In poche parole, siano:
la somma A + B sarà uguale a:
Esempio
Date due matrici A e B, della stessa dimensione, ad esempio 2 x 3, la loro somma A + B è:
Moltiplicazione di una matrice per uno scalare
Data una matrice A, il prodotto di tale matrice per uno scalare k, detto kA è la matrice che avrà per elementi i prodotti degli elementi di A per lo scalare K. In altre parole, detta, come sempre, la matrice A e uno scalare K:
si ha:
Esempio
Se A è sempre:
e k è 3, kA risulta:
Inoltre:
- A + B e kA sono ancora delle matrici di ordine m x n;
- data una matrice A, la matrice è detta opposta di A;
- date due matrici A e B, è detta differenza di A e B.
Moltiplicazione tra matrici
Il prodotto tra due matrici A e B, non è di immediata comprensione.
Partiamo quindi da un caso iniziale un pò più semplice, per poi spostarci al caso "generale".
Consideriamo un vettore riga A=[ai] e un vettore colonna B=[bi] che hanno lo stesso numero di elementi, cioè le matrici più semplici. Il prodotto AB non è altro che lo scalare pari alla somma dei prodotti tra gli elementi corrispondenti, cioè:
AB è uno scalare o, se vogliamo, una matrice 1 x 1. AB non è definito quando le matrici hanno numero di elementi differente.
Esempio
Passiamo quindi al caso "generale".
Date due matrici A=[aij] e B=[Bij], tali che il numero di righe di A è uguale a quello di righe di B, dove A è una matrice m x p e B una matrice p x n, il prodotto AB è una matrice m x n in cui l'elemento ij-esimo è il risultato della moltiplicazione tra la riga i-esima di A e la colonna j-esima di B. Cioè:
dove
Il prodottto tra due matrici non è definito se hanno numero di righe tra loro differenti.
Esempio
Calcoliamo AB, con .
La matrice prodotto AB sarà 2 x 3. Calcoliamo la prima riga di AB. Moltiplichiamo la prima riga di A per ognuna delle colonne di B:
cioè:
Per avere la seconda riga, in maniera analoga, moltiplichiamo la seconda riga di A per ogni colonna di B. Avremo:
Importante: la moltiplicazione tra matrici non è commutativa. Cioè AB e BA non sono necessariamente uguali.
Ancora qualche "definizione"
Matrice trasposta
Data una matrice A, si dice AT la sua trasposta e si ottiene scrivendo le righe di A, nell'ordine, come colonne.
Un esempio, come sempre, aiuta a capire meglio:
Si può intuire, da quanto detto, che la trasposta di un vettore riga è un vettore colonna e viceversa.
Matrice quadrata
Una matrice A si dice quadrata quando ha lo stesso numero di righe e colonne. Possimao dire che una matrice di dimensione n x n ha ordine n o che è n-quadrata.
Per una matrice quadrata di ordine n, tutte le operazioni sono definite. Un esempio di matrice quadrata è il seguente:
DIAGONALE E TRACCIA
La diagonale o diagonale principale di una matrice quadrata è costituita dagli elementi con indici uguali.
La traccia di A, indicata con tr(A), è la somma degli elementi della diagonale.
Facciamo un esempio, riprendendo la nostra matrice:
La diagonale sarà .
La traccia di A sarà:
MATRICE IDENTITA' E MATRICE SCALARE
Una matrice quadrata di ordine n si diceidentità, indicata con In o I, se ha 1 sulla diagonale e 0 altrove. Per la matrice identità vale la proprietà, data una matrice A:
Per ogni scalare k, la matrice kI che ha k sulla diagonale e 0 altrove è detta matrice scalare.
Un piccolo esempio:
MATRICE DIAGONALE E MATRICE TRIANGOLARE
Una matrice quadrata si dice diagonale se i suoi elementi che non appartengono alla diagonale sono nulli. Ad esempio, la matrice A:
è quadrata diagonale.
Una matrice quadrata si dice triangolare alta se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della sua diagonale principale, triangolare bassa se accade il contrario, cioè se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della sua diagonale principale. Ad esempio, le seguenti matrici sono rispettivamente triangolare alta e bassa:
MATRICE INVERTIBILE
Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste una matrice B, tale che:
dove I è la già nota matrice identica.
La matrice B è unica ed è detta inversa e si indica, in questo caso, con A-1. Inoltre se B è inversa di A, è vero anche il contrario.
Esempio 1
Proviamo a calcolare l'inversa di una matrice di dimensione 2 x 2.
Prendiamo in considerazione la generica matrice
Vogliamo trovare una formula che permetta di calcolarne l'inversa, cioè per calcolare A-1. Dobbiamo ottenere quindi 4 scalari, chiamiamoli x1, x2, y1 e y2, tali che si abbia:
Svolgendo il prodotto tra le due matrici ed uguagliando gli elementi corrispondenti si perviene a 4 equazioni:
Poniamo la differenza uguale ad . Essa verrà detto, come specificheremo in seguito, determinante di A. Ponendolo diverso da 0, troviamo in maniera unica le incognite che cercavamo, cioè i 4 scalari. Risulta quindi:
In definitiva
Pare ovvio che, nel caso in cui , la matrice non è invertibile.
Esempio 2
Data la matrice A, trovare l'inversa A-1.
.
L'inversa A-1 è del tipo:
Moltiplicando A per A-1 e uguagliando i nove elementi ai nove elementi della matrice identità si ottengono tre sistemi di equazioni lineari in tre delle incognite e sono:
e
Si risolve il sistema rispetto alleincognite nuove e si ricavano:
e quindi la matrice inversa:
Il determinante
Ad ogni matrice quadrata A di ordine n si associa un determinato scalare, detto determinante di A, indicato con det(A) o |A| o come:
Una matrice di n x n scalari racchiusi tra due righe verticali è detta determinante di ordine n e non si tratta di una matrice bensì è il determinante della matrice stessa.
Determinante di ordine uno e due
Si definiscono rispettivamente come:
Per il calcolo del determinante di ordine due, si può tenere preseten tale schema:
cioè fare la differenza tra il prodotto degli elementi collegati dalla freccia blu (partendo da a11) e quelli collegati dalla freccia rossa (partendo da a12).
Esempio
Ad esempio, per il determinante di ordine uno:
Per il determinante di ordine due:
Determinante di ordine tre
Consideriamo la matrice 3 x 3 generica. Si ha:
Scritto così, però, può sembrare un'impresa titanica imparare a calcolarlo. Effettuiamo un "piccolo accorgimento". Riscriviamo il determinante in questo modo:
dove le espressioni tra parentesi non sono altro che i determinanti seguenti:
E' in pratica una combinazione lineare di determinanti di matrici 2 x 2. I coefficienti sono a11, -a12, a13. Tali matrici si ottengono cancellando di volta in volta dalla matrice 3 x 3 iniziale la riga e la colonna in cui risiedono i coefficienti della combinazione lineare stessa.
Esempio
Calcoliamo il seguente determinante:
La regola di Sarrus
Se abbiamo a che fare con determinanti del terzo ordine, un altro metodo da poter utilizzare per il suo calcolo è la regola di Sarrus. Vediamo di capire di cosa si tratta. Sia data la matrice A:
e il suo determinante:
Si prende la matrice e si affiancano ad essa le prime due colonne:
Individuiamo "due gruppi" di diagonali.
Il primo è individuato dalle seguenti diagonali, così come sono evidenziate in figura:
Per ogni diagonale compaiono 3 elementi e ne facciamo il prodotto tra di loro e sommiamo algebricamente i 3 prodotti che otteniamo dalle 3 diagonali:
Il secondo è individuato dalle seguenti diagonali, così come sono evidenziate in figura:
Allo stesso modo di prima, per ogni diagonale facciamo il prodotto dei 3 elementi che contiene. Cambiamo di segno (mettiamo un meno) ogni prodotto e sommiamo algebricamente i risultati ottenuti, in questo modo:
La regola di Sarrus dice che il determinante di A è uguale a:
Applicazioni ai sistemi di equazioni lineari
Consideriamo il seguente sistema generico di equazioni lineari :
Chiamiamo il determinante della matrice dei coefficienti. Il sistema avrà una soluzione se e solo se . In questo caso l'unica soluzione potrà essere scritta in termini di determinanti. Vediamo come:
D compare al denominatore, come si può vedere. Nx e Ny si ottengono sostituendo, nella matrice dei coefficienti, la colonna dei termini costanti a quella dei coefficienti dell'incognita data (x o y per intenderci).
Qualora , il sistema può avere infinite soluzioni o non averne affatto.
Esempio
Proviamo a risolvere con i determinanti il seguente sistema lineare:
Il determinante D della matrice dei coefficienti risulta:
Ora: il determinante D è diverso da zero, quindi siamo sicuri che il sistema ha un'unica soluzione. Ci resta da calcolare ora Nx ed Ny. Li scriviamo seguendo le regole dette prima:
Da ciò ricaviamo:
Alcune proprietà dei determinanti
Elenchiamo di seguito alcune delle poprietà dei determinanti.
1. Il determinante di una matrice A è uguale a quello della sua trasposta.
2. Sia A una matrice quadrata:
- se presenta una riga o colonna di zeri, il determinante è zero;
- se presenta due righe o colonne identiche, il determinante è zero;
- se presenta due righe o colonne linearmente dipendenti tra loro (in altre parole se sono tra loro proporzionali), il determinante è zero;
- se è triangolare, allora il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale;
- il determinante di una matrice identica è 1.
3. Data una matrice A , se ne può ottenere una B, effettuando delle elementari operazioni di riga (colonna). Quindi:
- se si scambiano due righe o colonne di A , il determinante di B è l'oppposto di quello di A;
- se si moltiplica una riga o colonna per uno scalare K, allora il determinante di B è uguale al determinante di A moltiplicato per lo scalare k;
- se il multiplo di una riga o colonna è sommato a un'altra riga o colonna, il determinante di B è uguale a quello di A.
4. Il determinante del prodotto tra due matrici A e B è il prodotto dei loro determinanti.
Bibliografia
"Algebra lineare" - Lipschutz, Lipson.